連續變形下不變的性質
拓撲學是數學中最抽象且最根本的分支之一，被稱為「橡皮幾何學」——研究在連續變形下不變的幾何性質。與傳統幾何學測量距離和角度不同，拓撲學關心的是空間的「連通性」、「鄰近關係」和「整體結構」。
拓撲學的核心問題是：「兩個空間在連續變形下是否相同？」例如，咖啡杯和甜甜圈在拓撲學意義下是「相同」的，因為兩者都只有一個孔。這就是同胚的概念。
拓撲空間是拓撲學的基本研究對象，由集合 X 和滿足條件的開集族 𝒯 組成：空集和全集是開集，任意並集和有限交的開集仍是開集。
常見拓撲包括離散拓撲（所有子集都是開集）、平凡拓撲、歐氏拓撲（ℝⁿ 中由開球生成的拓撲）、相對拓撲（子空間繼承的拓撲）。
鄰域：點 x 的鄰域 N 是包含一個包含 x 的開集的集合。內部、閉包、邊界是拓撲學的基本概念。
連續映射：f: X → Y 在點 x 處連續的拓撲定義為開集的原像是開集。這與 ε-δ 定義等價但更通用。
同胚：若 f 是雙射且 f 和 f⁻¹ 都連續，則稱 X 和 Y 同胚。同胚的空間可以透過連續變形相互轉換。ℝ 和 (0,1) 同胚，但 ℝ 和 S¹（圓）不同胚。
連通性是基本的拓撲不變量。空間 X 是連通的若它不能表示為兩個非空不相交開集的並集。路徑連通是更強的連通性概念：任意兩點可用連續曲線連接。路徑連通 ⇒ 連通。
代數拓撲：透過代數工具（如基本群、同調群）研究拓撲空間的整體性質。同倫群 π₁(X) 捕捉空間中的「洞」結構，著名的 Brouwer 不動點定理是代數拓撲的經典結果。