隨機現象與數據推論
機率統計研究隨機現象的規律性。機率論研究隨機事件的機率規律，統計學從數據中推斷規律。
樣本空間 S 是所有可能結果的集合。事件是樣本空間的子集。機率函數 P 滿足：非負性、規範性 P(S)=1、可加性。
貝葉斯定理：P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)，是機器學習和統計推論的核心公式。
離散隨機變數的機率質量函數 p(x) = P(X=x)。常見離散分佈包括：
期望值 E[X] = Σx·p(x)，變異數 Var(X) = E[(X-μ)²] = E[X²] - μ²。
連續隨機變數的機率密度函數 f(x) 滿足 ∫f(x)dx = 1。累積分佈函數 F(x) = P(X ≤ x) = ∫₋∞ˣ f(t)dt。
常見連續分佈：
聯合分佈描述多個隨機變數的關係。邊際分佈透過對聯合分佈求和（離散）或積分（連續）得到。
共變異數 Cov(X,Y) = E[(X-μₓ)(Y-μᵧ)] 衡量兩個變數的線性相關程度。相關係數 ρ = Cov(X,Y) / (σₓσᵧ) 歸一化到 [-1, 1]。